函致单调性概念的抽象过程、函数单调性主题教学设计

Original 阳光教研阳光备课 2023-02-05

阳光备课

手机在手,备课无忧,学习不愁

点击上方蓝字，随时随地备课

关注“阳光备课”，点“往期文章”，必有你所需。

本文选取课标修订版（2017年版）的两个案例，并加上“三言两语”供大家参考，不要直接使用啊。

函数单调性

课程标准

【内容要求】

能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；

（2）函数性质

①借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。

②结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。

【教学提示】

函数单调性的教学，要引导学生正确地使用符号语言刻画函数最本质的性质——单调性（参见案例5）。在函数定义域、值域以及函数性质的教学过程中，应避免编制偏题、怪题，避免繁琐的技巧训练。

三言两语

本课的一个重要工作就是语言（符号语言）的表达。（数学抽象）

学生能在图形的直观上理解函数的单调性，但是“上升”“下降”毕竟是生活语言，用生活语言描述单调性是不准确的，这需要学生在讨论、交流中改进。教师必须耐心引导。

第一步：让学生自由讨论，能不能用数字的语言来描述函数“上升”“下降”的这种特征呢？如果能的话，又该如何描述？――引导学生提出一种描述：

第二步：进一步的讨论，将“函数f（x）随着x的增大而增大”“函数f（x）随着x的增大而减少”。的描述性转移到自变量和因变量的分别描述：

案例剖析

案例5 函致单调性概念的抽象过程

【目的】结合实例，经历从具体的直观描述到形式的符号表达的抽象过程，加深对函数单调性概念的理解，体会用符号形式化表达数学定义的必要性，知道这样的定义在讨论函数单调性问题中的作用。

【情境】在初中阶段，学生已经初步了解一元一次函数、反比例函数、一元二次函数的图象具有单调性的特征。在高中阶段引入函数单调性概念时，可以从直观认识出发，提出合适的课堂讨论问题，使学生经历函数单调性概念的抽象过程。例如，可以提出如下问题。

问题1 在初中阶段已经学过一元一次函数、反比例函数、一元二次函数，请根据函数图象（如图4)，分别述说x在哪个范围变化时，y随着x的增大而增大或者减小？

问题2 在日常生活中，哪些函数关系具有上述特征？

问题3 如图5，f（-2）<f（2）<f（8），能否据此得出“f（x）在[-2，8]递增”的结论？为什么？

问题4 依据函数单调性的定义，证明函数，x∈（2，+∞）是递增的。

【分析】初中阶段，学生是经过从直观图形语言到数学自然语言的过程来认识函数的单调性的。到了高中阶段，需要在此基础上进一步用符号语言来表述函数的单调性。在使用符号语言的过程中，“任意”两字是学生遇到的一个难点，需要注意。

另外，函数单调性证明过程中的运算也是一个难点。

在函数单调性概念的形成中，经历由具体到抽象、由图形语言和自然语言到符号语言表达的过程，发展学生的数学抽象素养。在把握函数单调性定义时，体会全称量词、存在量词等逻辑用语的作用，发展学生的逻辑推理素养。在函数单调性证明的过程中，发展学生的数学运算素养。

这是《普通高中数学课程标准》（2017版）的案例5

（具体教学设计、课堂实录请点文末的“阅读原文”）

案例36 函数单调性主题教学设计

这是《普通高中数学课程标准》（2017版）的教学单元设计举例，请大家认真体会。

【目的】说明如何进行跨章节的主题教学设计。

【情境】函数单调性是函数的重要性质之一,不仅与函数概念、函数的其他性质有关,也与基本初等函数、不等式、数列、导数等内容有关,在表述过程中还与常用逻辑用语中的量词有关。所以，函数单调性可以作为跨章节的主题进行整体教学设计。

【分析】一来说,主题教学的整体设计可分为前期准备、开发设计、评价修改三个阶段,具体可以包括以下几个步骤,如图38所示。

(1)确定主题内容；

(2)分析教学要素；

(3)编制主题教学目标；

(4)设计主题教学流程；

(5)评价、反思及修改。

作为案例,下面给出教学设计的具体方法。

为了确定主题内容,下面的两种策略可供选择。

一是以函数单调性知识的前后逻辑为线索。例如，借助初等函数的图象直观理解函数单调性的含义、感悟函数的攀体单调和部分区间单调；通过代数求解（特别关注最大（小）值和拐点），验证函数的单调性以及单调性与自变量变化区间的关系；用导函数进一步刻画函数的单调性，把握函数单调性的本质是变化趋势。以知识的逻辑联系为线索组织内容，学生可以对函数单调性的认识逐渐深刻、表达逐渐清晰。

二是以函数的其他性质为线索。例如，考察初等函数的单调性与对称性、周期性、最大（小）值之间的关系，分析这几个性质的共性与差异。以函数的其他性质为线索组织内容，学生可以通过比较函数的性质，进一步加深对函数概念的理解，体会正是因为不同函数具有不同性质，才使得函数成为表达现实世界规律的丰富的教学语言。

无论采取哪种策略组织内容，在教学设计中，都要关注数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等素养水平的提升。

分析教学要素是确定主题教学目标的前提，是主题教学设计的重点环节。教学要素分析主要包括以下方面：数学内容分析、课程标准分析、学情分析、教材分析、重难点分析以及教学方式分析。

其体分析内容如表5所示。

表5 教学要素分析的内容

要素	内容
教学内容分析	1.本主题内容的数学本质、数学文化以及所渗透的数学思想等； 2.本主题内容在本学段数学课程中的地位； 3.本主题内容在整个中小学数学课程中的地位和作用； 4.本主题内容在数学整体中的地位； 5.本主题内容与本学段、前后学段以及大学其他知识之间的联系。
课程标准分析	1.课程标准中对本主题内容的要求； 2.课程标准中对本主题内不同内容要求的关联。
学情分析	1,学生学习新知识的预备状态； 2.学生对即将要学习的内容是否有所涉猎； 3.学生学习新知识的情感态度； 4.学生的学习方法、习惯以及风格。
教材分析	1.比较不同版本教材的对本主题内容在概念引入、情境创设、例题习题的编排方式等方面的异同,分析各自的特点； 2.根据学情选择适当的内容及其处理方式。
重难点分析	1.主题整体教学重难点; 2.具体课时重难点。
教学方式分析	从主题整体角度出发,选择合适的教学方式（体现学生的主体性)。